Question

【題目】如圖，在菱形中，，平面，，是線段的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】試題分析：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接MO可證明平面、平面，從而可得平面平面，進(jìn)而可得平面；（2）取的中點(diǎn)為，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零解方程組求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.因?yàn)?/span>，平面，所以平面.

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.

又，所以平面

所以，平面平面.

故平面.

（2）取的中點(diǎn)為，連接，則.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.取，則，，，.

所以，.

設(shè)平面的法向量，則，即，解得.

可取法向量.

又，則

故直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.