Question

【題目】對(duì)于給定的正整數(shù)，如果各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)，

總成立，那么稱(chēng)是“數(shù)列”．

（1）若是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）若既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，求證： 是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析。

【解析】試題分析：（1）假設(shè){an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得： 即可證明．
（2）既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，可得．可得對(duì)于任意n∈N*（n≥4）都成立．即可證明．

試題解析：（1）是“數(shù)列”，理由如下：

因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為．

當(dāng)時(shí)，有

所以是“數(shù)列”．

（2）因?yàn)?/span>既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，

所以， ， ①

， ． ②

由①得， ， ， ③

， ． ④

③④②得， ， ．

因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以， ．

所以數(shù)列從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為．

①中，令得， ，所以．

①中，令得， ，所以．

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．