Question

13．設(shè)關(guān)于x的方程x⁴-2x²=|x²-1|-k有f（k）個不同的實數(shù)根，且?k∈R，都有m＞kf（k）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是[10，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得x⁴-2x²-|x²-1|=-k，設(shè)g（x）=x⁴-2x²-|x²-1|，易得g（x）為偶函數(shù)，去絕對值畫出圖象，討論-k的范圍，即可得到根的個數(shù)，可得kf（k）＜10．由恒成立思想即可得到m的范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程x⁴-2x²=|x²-1|-k即為
x⁴-2x²-|x²-1|=-k，
設(shè)g（x）=x⁴-2x²-|x²-1|，易得g（x）為偶函數(shù)，
當x²-1≥0即x≥1或x≤-1時，g（x）=x⁴-3x²+1
=（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，當x²=$\frac{3}{2}$時取得最小值-$\frac{5}{4}$；
當x²-1＜0即-1＜x＜1時，g（x）=x⁴-x²-1
=（x²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，當x²=$\frac{1}{2}$時取得最小值-$\frac{5}{4}$．
函數(shù)y=g（x）的圖象如圖．
當-k＞-1，即k＜1時，f（k）=2；
當-k=-1，即k=1時，f（k）=5；
當-$\frac{5}{4}$＜-k＜-1，即1＜k＜$\frac{5}{4}$時，f（k）=8；
當-k=-$\frac{5}{4}$，即k=$\frac{5}{4}$時，f（k）=4；
當-k＜-$\frac{5}{4}$，即k＞$\frac{5}{4}$時，f（k）=0．
則kf（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k，k＜1}\\{5，k=1，\frac{5}{4}}\\{8k，1＜k＜\frac{5}{4}}\\{0，k＞\frac{5}{4}}\end{array}\right.$；
即有kf（k）＜10．
由題意?k∈R，都有m＞kf（k）恒成立，
即有m≥10．
則有m的范圍是[10，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．