Question

13．已知拋物線y=$\frac{1}{8}$x²與雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）有共同的焦點F，O為坐標(biāo)原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為3-2$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點可得雙曲線的方程，設(shè)P（m，n），由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理成關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的知識可得．

解答 解：∵拋物線y=$\frac{1}{8}$x²的焦點F為（0，2），
∴雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）的c=2，可得a²=3，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1，
設(shè)P（m，n），（n≥$\sqrt{3}$），則n²-3m²=3，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n
=$\frac{{n}^{2}}{3}$-1+n²-2n=$\frac{4{n}^{2}}{3}$-2n-1=$\frac{4}{3}$（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
由于區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）在n=$\frac{3}{4}$的右邊，故為增區(qū)間，
則當(dāng)n=$\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$取得最小值，計算可得最小值為3-2$\sqrt{3}$．
故答案為：3-2$\sqrt{3}$

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查二次函數(shù)在區(qū)間上的最值和向量的知識，屬中檔題．