Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線C于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若

OE

=2（

OA

+

OB

）（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn)E在拋物線C上，求△EAB的面積；
（3）若點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線MF，MA，MB的斜率分別為k₀，k₁，k₂．
求證：當(dāng)k₀為定值時(shí)，k₁+k₂也為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線l的方程為x-

p

2

=my，與拋物線方程聯(lián)立消去x，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可求拋物線的方程；（2）由向量相等表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，列出方程組，化簡(jiǎn)求出△EAB的面積；（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出三條直線的斜率，化簡(jiǎn)可證明．

解答： 解：（1）點(diǎn)F（

p

2

，0），設(shè)直線l的方程為x-

p

2

=my，
則與y²=2px聯(lián)立，消去x得，
y²-2pmy-p²=0，
又∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線C于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
∴y₁y₂=-p²=-4，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）∵

OE

=2（

OA

+

OB

）=（2（x₁+x₂），2（y₁+y₂）），
∴點(diǎn)E（2（x₁+x₂），2（y₁+y₂）），
則由題意得，

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2 x1-1=my1 x2-1=my2 [2(y1+y2) ]2=4×2(x1+x2)

，
不妨設(shè)m＞0，
解得，m=

2

2

，|y₁-y₂|=2

6

，點(diǎn)E（8，4

2

），
直線l的方程為2x-

2

y-2=0，
則|AB|=

1+ 1 2

×2

6

=6，
點(diǎn)E到直線l的距離d=

|2×8- 2 ×4 2 -2|

4+2

=

6

，
則S_△EAB=

1

2

×6×

6

=3

6

．
（3）設(shè)點(diǎn)M（-1，y），則
k₀=

y-0

-1-1

，則y=-2k₀，
k₁+k₂=

y1-y

x1+1

+

y2-y

x2+1

=

(y1-y)(my2+2)+(y2-y)(my1+2)

(my1+2)(my2+2)

=

2my1y2+2(y1+y2)-m(y1+y2)y-4y

m2y1y2+2m(y1+y2)+4

又∵y₁y₂=-4，y₁+y₂=4m，
則k₁+k₂=

2m(-4)+2×4m-m×4my-4y

m2(-4)+2m×4m+4

=

-4(m2+1)y

4(m2+1)

=-y=2k₀．
∵k₀為定值，
∴k₁+k₂=2k₀也為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，常用到韋達(dá)定理及距離公式，化簡(jiǎn)較復(fù)雜，化簡(jiǎn)要細(xì)致，屬于難題．