Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點$F（\sqrt{3}，0）$，點$M（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，過原點O作直線l的垂線，垂足為P，如果△OAB的面積為$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$（λ為實數(shù)），求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過右焦點$F（\sqrt{3}，0）$可知：c=$\sqrt{3}$，左焦點F′（-$\sqrt{3}$，0），利用2a=|MF′|+|MF|可得a=2，進而可得結論；
（Ⅱ）通過S_△ABC=$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$，可得λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$，對直線l的斜率存在與否進行討論．當直線l的斜率不存在時，易得λ=-1；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程并與橢圓C方程聯(lián)立，利用韋達定理、兩點間距離公式、點到直線的距離公式計算亦得λ=-1．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：c=$\sqrt{3}$，左焦點F′（-$\sqrt{3}$，0）．
根據(jù)橢圓的定義得：2a=|MF′|+|MF|=$\sqrt{（-\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$+$\frac{1}{2}$，
解得a=2，∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由題意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|OP|=$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$，
整理得：λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$．
①當直線l的斜率不存在時，l的方程為：x=$\sqrt{3}$，
此時|AB|=1，|OP|=$\sqrt{3}$，
∴λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$=-1；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=k（x-$\sqrt{3}$），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
顯然△＞0，則x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵y₁=k（x₁-$\sqrt{3}$），y₂=k（x₂-$\sqrt{3}$），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=4•$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²=（$\frac{|-\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²=$\frac{3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
此時，λ=$\frac{3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=-1；
綜上所述，λ為定值-1．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．