Question

12．對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）成為M函數(shù)：①對(duì)任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則下列函數(shù)不是M函數(shù)的是（　�。�

• A． f（x）=x²
• B． f（x）=2^x-1
• C． f（x）=ln（x²+1）
• D． f（x）=x²+1

Answer 1

分析 根據(jù)M函數(shù)的定義，由函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，或作差比較兩個(gè)函數(shù)值的大小的方法判斷每個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)是否滿足條件①②，即可判斷該函數(shù)是否為M函數(shù)．

解答 解：A．f（x）=x²，該函數(shù)顯然滿足①，f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$≥f（x₁）+f（x₂），即滿足②；
∴該函數(shù)是M函數(shù)；
B．f（x）=2^x-1，x∈[0，1]時(shí)，顯然f（x）≥0，即滿足①；
x₁≥0，x₂≥0，f（x₁+x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）$≥0；
∴該函數(shù)為M函數(shù)；
C．f（x）=ln（x²+1），顯然滿足①；
$f（{x}_{1}+{x}_{2}）=ln（{2x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+1）$，f（x₁）+f（x₂）=$ln[（{x}_{1}{x}_{2}）•{（x}_{1}{x}_{2}）+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+1]$；
x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1；
∴2x₁x₂≥（x₁x₂）•（x₁x₂）；
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），即滿足②；
∴該函數(shù)是M函數(shù)；
D．f（x）=x²+1，當(dāng)x₁=0，x₂=1時(shí)，f（x₁+x₂）=2，f（x₁）+f（x₂）=3；
∴不滿足②；
∴該函數(shù)不是M函數(shù)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)M函數(shù)定義的理解，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的范圍，作差法比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較f（x₁+x₂）與f（x₁）+f（x₂）的大小關(guān)系．