Question

12．（1）已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個不共線的向量，若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求證：A，B，D三點共線．
（2）已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，求x+y的值．

Answer 1

分析 （1）證明$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共線即可；
（2）由A，B，P三點共線可知$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}$共線，列出方程組整理出x+y．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴A，B，D三點共線．
（2）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（x-1）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$=x$\overrightarrow{OA}$+（y-1）$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，P三點共線，
∴?非零λ∈R使得$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{BP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=λx}\\{y=λ（y-1）}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{x-1}{x}=\frac{y}{y-1}$，
∴（x-1）（y-1）=xy，整理得x+y=1．

點評 本題考查了平面向量的共線定理及其應(yīng)用，用基向量表示出要證的共線向量是關(guān)鍵．