Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-（a+1）lnx-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）沒有極值點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明結(jié)論即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 （Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）．         
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-2lnx-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
所以函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）沒有極值點(diǎn)；
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
①a≤0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）；
④當(dāng)a=1時(shí)，
由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．