Question

16．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2$\sqrt{2}$，且過點（2，-$\frac{1}{2}$），則函數f（x）=f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2$\sqrt{2}$求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．

解答 解：由題意可得$\sqrt{{2}^{2}{+（\frac{π}{ω}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴ω=$\frac{π}{2}$，函數f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）．
再把點（2，-$\frac{1}{2}$）代入函數的解析式可得sin（π+φ）=-sinφ=-$\frac{1}{2}$，
∴sinφ=$\frac{1}{2}$．
再由，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
故答案為：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

點評 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2$\sqrt{2}$求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，屬于中檔題．