Question

13．函數(shù)f（x）=$\frac{9{x}^{2}+x+134}{3{x}^{2}+x+44}$（x∈（3，7））的值域為[$\frac{91}{32}$，$\frac{109}{37}$）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導數(shù)，得到f（x）的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：f′（x）=$\frac{{6x}^{2}-12x-90}{{（{3x}^{2}+x+44）}^{2}}$，
令g（x）=6x²-12x-90=6（x²-2x-15）=6[（x-1）²-16]，
∴g（x）在x∈（3，7））遞增，
令g（x）=0，得x=5，
故g（x）在（3，5）為負數(shù)，在（5，7）為正數(shù)，
即函數(shù)f（x）在（3，5）遞減，在（5，7）遞增，
∴f（x）_min=f（5）=$\frac{91}{32}$，
而f（3）=$\frac{109}{37}$≈2.95，f（7）=$\frac{291}{99}$≈2.94，
故答案為：[$\frac{91}{32}$，$\frac{109}{37}$）．

點評 本題考察了求函數(shù)的值域問題，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎題．