Question

【題目】如圖，已知橢圓過點，離心率為，分別是橢圓的左、右頂點，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記、的面積分別為、，若，求的值；

（3）記直線、的斜率分別為、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據橢圓所過點、離心率和橢圓關系可構造方程組求得結果；

（2）利用面積比可求得，根據向量坐標運算，利用點坐標表示出點坐標，代入橢圓方程可求得點坐標，進而利用兩點連線斜率公式求得結果；

（3）將直線方程與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，利用兩點連線斜率公式表示出所求的后，代入韋達定理的結論，整理可得結果.

（1）設橢圓的焦距為，

橢圓過點，離心率為，，解得：，

橢圓的標準方程為：.

（2）設點、，

，，由（1）可知：，，

，即，，

，即

又在橢圓上，，解得：，

直線的斜率.

（3）由題意得：直線的方程為，

由消去得：，

，，

，

.