Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點x=2處的切線方程；
（2）設g（x）=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$（k＞0），對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0），使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求k的取值范圍；
（3）設b_n=$\frac{f（n+1）+n}{{n}^{3}}$，證明：$\sum_{i=2}^{n}$b_i＜1（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，確定切線的斜率，即可求函數(shù)f（x）的圖象在點x=2處的切線方程；
（2）對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，只須f （x）_max≤g（x）_max．
（3）證明n≥2，ln（n+1）＜n，可得$\frac{ln（n+1）}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，即可證明結論．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
由已知得：f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，f′（2）=-$\frac{1}{2}$，
∵f（2）=ln2-1，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點x=2處的切線方程是y-ln2+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即$\frac{1}{2}$x+y-ln2=0；
（2）當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為（1，+∞）．  
∴x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值為0，
由題意知：對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只須f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$=x+$\frac{k}{x}$+2k=-（-x+$\frac{k}{-x}$）+2k≤-2$\sqrt{k}$+2k，∴只須-2$\sqrt{k}$+2k≥0，解得k≥1．
故k的取值范圍[1，+∞）．
（3）b_n=$\frac{f（n+1）+n}{{n}^{3}}$=$\frac{ln（n+1）}{{n}^{3}}$．
f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴n≥2時，ln（n+1）＜n，
∴$\frac{ln（n+1）}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$．
∴n≥2時，$\sum_{i=2}^{n}$b_i＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最大值，考查不等式的證明，知識綜合性強．