Question

8．如圖，四邊形OABC，ODEF，OGHI是三個全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠AOI=60°，P為各菱形邊上的動點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OH}$，則x+y的最大值為4．

Answer 1

分析 由條件可以看出G，O，C三點(diǎn)共線，并且OE的連線垂直于GC，從而可以分別以O(shè)C，OE兩直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可以確定D，H的坐標(biāo)：D（$1，\sqrt{3}$），H（$-3，-\sqrt{3}$），可設(shè)P（X，Y）．從而可根據(jù)條件$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OH}$，用X，Y表示出x，y，并且可以得到x+y=$-X+\frac{2\sqrt{3}}{3}Y$，可設(shè)x+y=z，從而可以得到$Y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}z$，該方程表示的直線的截距為$\frac{\sqrt{3}}{2}z$，可以看出截距最大時，z最大，并且根據(jù)圖形可以看出當(dāng)直線過E點(diǎn)時截距最大，這樣求出點(diǎn)E的坐標(biāo)帶入直線方程即可求出z，即求出x+y的最大值．

解答 解：根據(jù)條件知，G，O，C三點(diǎn)共線，連接OE，則OE⊥GC；
∴分別以O(shè)C，OE所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)棱形的邊長為2，則：

D（1，$\sqrt{3}$），H（-3，$-\sqrt{3}$）；
設(shè)P（X，Y），則：$（X，Y）=x（1，\sqrt{3}）+y（-3，-\sqrt{3}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{X=x-3y}\\{Y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}Y}\\{y=-\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{6}Y}\end{array}\right.$；
∴$x+y=-X+\frac{2\sqrt{3}}{3}Y$；
設(shè)x+y=z，則：$Y=\frac{\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}z$，$\frac{\sqrt{3}}{2}z$表示在y軸上的截距；
當(dāng)截距最大時，z取到最大值；
由圖形可以看出當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)E（$0，2\sqrt{3}$）時截距最大；
∴$2\sqrt{3}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}z$；
∴z=4；
∴x+y的最大值為4．
故選：B．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，能確定平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，以及向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，直線的點(diǎn)斜式方程，線性規(guī)劃的運(yùn)用．