Question

10．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線mx+y+m=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意作出可行域，利用直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率，求得滿足直線mx+y+m=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)時(shí)的m的范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

∵直線mx+y+m=0過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），要使直線mx+y+m=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，
則直線mx+y+m=0的斜率-m∈[k_PA，k_PB]，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得A（2，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，得B（2，4），
∴${k}_{PA}=\frac{1-0}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，${k}_{PB}=\frac{4-0}{2-（-1）}=\frac{4}{3}$．
∴$\frac{1}{3}≤-m≤\frac{4}{3}$，即$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．
故答案為$-\frac{4}{3}≤m≤-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．