Question

【題目】如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.

（1）若為的中點，求證：平面；

（2）若，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）設EC與DF交于點N，連結MN，由中位線定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；

（2）取CD中點為G，連結BG，EG，則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，從而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入體積公式即可計算出體積．

（1）證明：設與交于點，連接，

在矩形中，點為中點，

∵為的中點，∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）取中點為，連接，，

平面平面，

平面平面，

平面，，

∴平面，同理平面，

∴的長即為四棱錐的高，

在梯形中，，

∴四邊形是平行四邊形，，

∴平面，

又∵平面，∴，

又，，

∴平面，.

注意到，

∴，，

∴.