Question

已知橢圓()的離心率為，且右焦點(diǎn)到直線的距離為。

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值。

Answer 1

(Ⅰ)

(Ⅱ) 當(dāng)，的面積有最大值

【解析】

試題分析：在做題的過程中，應(yīng)用題的條件，得出關(guān)于的等量關(guān)系，從而求出的值，再根據(jù)離心率的大小得出的值，在應(yīng)用橢圓中的關(guān)系，得出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程，對(duì)于第二問，應(yīng)該想辦法將三角形的面積轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求解.

試題解析：(1) 依題意可知,∴ 2分

又∵離心率為，∴，故因此橢圓的方程為： 4分

（2）將直線方程：y=kx與橢圓方程聯(lián)立消y得，

所以 6分

∴ 8分

又∵點(diǎn)A到直線的距離d= 9分

故的面積=

當(dāng)k>0時(shí), ，

故當(dāng)，的面積有最大值 12分

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離，橢圓的方程，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式，三角形的面積，求函數(shù)最值.