Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為其前n項(xiàng)和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n+1-3a_n=2n-2，并與a_n-3a_n-1=2（n-1）-2（n≥2）作差、整理可知b_n=3b_n-1+2，變形得b_n+1=3（b_n-1+1），進(jìn)而可知數(shù)列{b_n+1}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）可知b_n+1=3ⁿ，進(jìn)而利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）可知a_n+1-a_n=3ⁿ-1，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，
∴a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1（n≥2），
兩式相減得：a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∴a_n+1-3a_n=2n-2（n≥2），
又∵a₂=2a₁+1-1+1=3=3a₁滿足上式，
∴a_n+1-3a_n=2n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2，
兩式相減得：（a_n+1-a_n）=3（a_n-a_n-1）+2，即b_n=3b_n-1+2，
整理得：b_n+1=3（b_n-1+1），
又∵b₁=a₂-a₁+1=3-1+1=3，
∴數(shù)列{b_n+1}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n+1=3ⁿ，
∴b_n=-1+3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=-n+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-n-$\frac{3}{2}$；
（3）解：由（2）可知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）
=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+1）-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．