Question

17．已知g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2a1nx在[1，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2a1nx在[1，2]上是減函數(shù)
∴等價(jià)為g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0，
即$\frac{2a}{x}$≤$\frac{2}{{x}^{2}}$-2x，
則a≤$\frac{1}{x}$-x²，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{x}$-x²，則f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{1}{2}-4$=-$\frac{7}{2}$，
即a≤-$\frac{7}{2}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{7}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．