Question

求三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z,使得它們同時(shí)滿足下列方程2x+3y+z=13,4x²+9y²+z²-2x+15y+3z=82.

Answer 1

思路分析：將問題看成求方程組的解的問題，要善于發(fā)現(xiàn)并結(jié)合題設(shè)中兩方程中系數(shù)的數(shù)值特征，把4x²+9y²+z²-2x+15y+3z=82變?yōu)?2x)²+(3y+3)²+(z+2)²=108，進(jìn)而把2x+3y+z=13湊成2x+(3y+3)+(z+2)=18,就可利用柯西不等式求解了.

解：將兩方程的左右兩邊分別相加，變形得(2x)²+(3y+3)²+(z+2)²=108，由第一個(gè)不等式變形得2x+(3y+3)+(z+2)=18，于是由柯西不等式得

18²=［1×(2x)+1×(3y+3)+1×(z+2)］²

≤(1²+1²+1²)×［(2x)²+(3y+3)²+(z+2)²］=3×108=18².

由于不等式中等號(hào)成立的條件可知：2x=3y+3=z+2=6,

故原方程的解為：x=3,y=1,z=4.