Question

12．已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊中點．
（1）若點O滿足$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，求證：$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）已知E為AC邊中點，O在線段DE上，且滿足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，△BOC的面積為2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據D為BC的中點，從而根據向量加法的平行四邊形法則得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$，從而得到$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$，這便可得出$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）同上$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，從而得到$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{DO}$，進一步便可得到AB=6DO，從而有S_△ABC=6S_△BOC，這樣便可得出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵D為BC邊中點；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$；
∴由$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）如圖，根據條件：$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$$+2（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OE}+4\overrightarrow{OD}$
=$\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{DO}$；
∴DE=3DO；
又AB=2DE；
∴AB=6DO；
∴S_△ABC=6S_△BOC=12；
即△ABC的面積為12．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的加法和數乘運算，以及向量數乘的幾何意義，三角形的面積公式．