Question

3．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，最小值為$\sqrt{2}$-1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線的斜率k．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓的性質(zhì)可得a+c=1+$\sqrt{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，解方程可得a，c，進(jìn)而得到b，可得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直徑所對(duì)的圓心角為直角，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，解方程可得k．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a+c=1+$\sqrt{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程可得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，可得OA⊥OB，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即為x₁x₂+y₁y₂=0，
即有（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0，
代入韋達(dá)定理，可得$\frac{（1+{k}^{2}）（2{k}^{2}-2）-4{k}^{4}+2{k}^{4}+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
化簡(jiǎn)即為k²=2，解得k=±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．