Question

7．若方程|x²-2x-1|-t=0有四個不同的實(shí)數(shù)根x₁、x₂、x₃、x4，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范圍是（　�。�

• A． （8，6$\sqrt{2}$）
• B． （6$\sqrt{2}$，4$\sqrt{5}$）
• C． [8，4$\sqrt{5}$]
• D． （8，4$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 先作函數(shù)y=|x²-2x-1|的圖象，結(jié)合圖象可得0＜t＜2，再由韋達(dá)定理可得x₄-x₁=$\sqrt{{2}^{2}+4（1+t）}$=$\sqrt{8+4t}$，x₃-x₂=$\sqrt{8-4t}$，再令f（t）=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，令f′（t）=$\frac{4\sqrt{8-4t}-2\sqrt{8+4t}}{\sqrt{8+4t}\sqrt{8-4t}}$=0得t=$\frac{6}{5}$，從而由函數(shù)的單調(diào)性確定2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范圍．

解答 解：由題意，
作函數(shù)y=|x²-2x-1|的圖象如下，

由圖象知，0＜t＜2，
∵|x²-2x-1|-t=0，
∴|x²-2x-1|=t，
故x²-2x-1-t=0或x²-2x-1+t=0，
則x₄-x₁=$\sqrt{{2}^{2}+4（1+t）}$=$\sqrt{8+4t}$，
x₃-x₂=$\sqrt{8-4t}$，
故2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）
=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，
令f（t）=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，
令f′（t）=$\frac{4\sqrt{8-4t}-2\sqrt{8+4t}}{\sqrt{8+4t}\sqrt{8-4t}}$=0得，
t=$\frac{6}{5}$，
故f（t）在（0，$\frac{6}{5}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{6}{5}$，2）上是減函數(shù)；
而f（$\frac{6}{5}$）=4$\sqrt{5}$，f（0）=6$\sqrt{2}$，f（2）=8；
故2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范圍是（8，4$\sqrt{5}$]，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題．