Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}{b_n}滿足a₁=1，a₂=x（x＞0），b_n=a_n•a_n+1，且{b_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*）．
（1）求{c_n}的通項公式；
（2）設(shè)d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$，x=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{d_n}的最大項和最小項的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和題意可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，代入式子則$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+1}{+a}_{2n+2}}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$化簡，利用等比數(shù)列的定義、通項公式，求出{c_n}的通項公式；
（2）由（1）和對數(shù)的運算化簡d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$，利用數(shù)列的函數(shù)特征判斷出數(shù)列{d_n}的單調(diào)性，再求出最大項和最小項的值．

解答 解：（1）因為b_n=a_n•a_n+1，且{b_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，
所以$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，
又c_n=a_2n-1+a_2n，則$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+1}{+a}_{2n+2}}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$=$\frac{{q（a}_{2n-1}{+a}_{2n}）}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$=q，
因為a₁=1，a₂=x（x＞0），
所以數(shù)列{c_n}是以（1+x）為首項、以公比為q的等比數(shù)列，
則c_n=（1+x）q^n-1；
（2）由（1）得，d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$=$\frac{lg[（1+x）{q}^{n}]}{lg[（1+x）{q}^{n-1}]}$，
因為x=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，
所以d_n=$\frac{lg{2}^{19.2-n}}{lg{2}^{20.2-n}}$=$\frac{19.2-n}{20.2-n}$=$\frac{20.2-n-1}{20.2-n}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，
則d_n在（0，20.2）、（20.2，+∞）隨著n的增大而減少，
當(dāng)n=19時，d₁₉=1-$\frac{1}{1.2}$=$\frac{1}{6}$；
當(dāng)n=20時，d₂₀=1+$\frac{1}{0.2}$=6，
所以數(shù)列{d_n}的最大項和最小項的值分別為$\frac{1}{6}$、6．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式、定義求通項公式，對數(shù)的運算性質(zhì)，利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，以及利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列中最大項、最小項問題．