Question

7．如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB和BC的中點，M為棱B₁B的中點．求證：
（1）EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

Answer 1

分析 （1）證明EF垂直于BD，DD₁，即可證明EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）證明FB₁⊥平面D₁C₁M，即可證明平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

解答 證明：（1）∵E、F分別為AB和BC的中點，
∴EF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴DD₁⊥EF，
∵DD₁∩BD=D，
∴EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）由△B₁C₁M≌△BB₁F，可得FB₁⊥C₁M．
再由D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得FB₁⊥D₁C₁，
∵C₁M∩D₁C₁=C₁，
∴FB₁⊥平面D₁C₁M，
∵FB₁?平面EFB₁，
∴平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確證明線面垂直是關(guān)鍵．