Question

18．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
（1）探究函數(shù)的下列性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性；
（2）若（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）=1，求x+y的值．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0}\\{{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$，解之即可得到定義域；運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，注意先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計算f（-x）+f（x）=0，即可判斷函數(shù)的奇偶性；分別判斷內(nèi)層和外層函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，可得出原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意知，f（x）+f（y）=0，再由函數(shù)的奇偶性，即可得到x+y的值．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0}\\{{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$，∴x∈R，
∴函數(shù)的定義域是R；
∵f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）+f（x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg1=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
∵t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（x）為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在R上單調(diào)遞增；
（2）由于f（x）+f（y）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（y$\sqrt{{y}^{2}+1}$）
=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）=lg1=0，
則f（y）=-f（x），
又由f（x）為奇函數(shù)，則x+y=0．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．