Question

13．直線ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，若△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（2，2）之間距離的最小值為$\sqrt{2}$，最大值3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)，△AOB是等腰直角三角形，可得點O到直線ax+by=1的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得點P（a，b）在以原點為圓心、半徑等于$\sqrt{2}$的圓上，再根據(jù)點（2，2）與點（0，0）之間距離為2$\sqrt{2}$，從而得出結論．

解答 解：由題意可得，△AOB是等腰直角三角形，故點O到直線ax+by=1的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即 $\frac{|0+0-1|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²+b²=2，即點P（a，b）與點（0，0）之間距離為$\sqrt{2}$，
即點P（a，b）在以原點為圓心、半徑等于$\sqrt{2}$的圓上．
而點（2，2）與點（0，0）之間距離為2$\sqrt{2}$，
故點P（a，b）與點（2，2）之間距離的最小值為 2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；點P（a，b）與點（2，2）之間距離的最大值為 2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$；3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，直線和圓的位置關系，屬于基礎題．