Question

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合

與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為A、B．

(1) 若△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；

(2)若，求橢圓的離心率；

(3) 點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：．

Answer 1

 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為

 ∵△是邊長(zhǎng)為的正三角形，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為

（2）∵, ∴ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是        

∵ 點(diǎn)在拋物線上，

∴，                                   

將代入上式整理得：，

即，解得                        

∵ ，故所求橢圓的離心率。           

（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

                       

而直線的方程為       

令得。                      

在中，以代換得    

∴