Question

如圖所示，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，A、B為雙曲線的兩個頂點．
（1）當a=2，b=

3

，直線l：y=x-4與雙曲線交于C、D兩點，求線段CD的長度；
（2）在x軸上是否存在這樣一個定點M（λ，0），過M的直線與雙曲線有兩個交點C、D，并且無論怎么旋轉直線CD（在保證直線和雙曲線有兩個交點的前提下），始終CA⊥AD．如果存在，請求出λ的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設條件推導出雙曲線方程為

x2

4

-

y2

3

=1，聯(lián)立

x2 4 - y2 3 =1 y=x-4

，得：x²-32x+76=0，利用橢圓弦長公式能求出線段CD的長度．
（2）假設存在定點M（λ，0），過M的直線與雙曲線有兩個交點C、D，并且無論怎么旋轉直線CD，始終CA⊥AD，設直線CD的方程為y=k（x-λ），設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由A（2，0），分別求出CA和AD的斜率，由CA⊥AD，得到CA與AD兩直線的斜斜率的乘積為-1，由此得到一個表達式，再把點C和D的坐標分別代入直線CD的方程得到另一個表達式，比較兩個表達式能求出結果．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，a=2，b=

3

，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

3

=1，
聯(lián)立

x2 4 - y2 3 =1 y=x-4

，消去y，并整理，得：x²-32x+76=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=32，x₁x₂=76，
∴|CD|=

(1+1)(322-4×76)

=12

10

．
∴線段CD的長度為12

10

．
（2）假設存在定點M（λ，0），過M的直線與雙曲線有兩個交點C、D，
并且無論怎么旋轉直線CD，始終CA⊥AD，
設直線CD的方程為y=k（x-λ），
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵A（2，0），∴kCA=

y3

x3-2

，k_AD=

y4

x4-2

，
∵CA⊥AD，∴kCA•kAD=

y3

x3-2

•

y4

x4-2

=-1，
整理，得y₃y₄=-x₃x₄+2（x₃+x₄）-4，①
∵y=k（x-λ），
∴y₃y₄=[k（x₃-λ）][k（x₄-λ）]
=k²x₃x₄-k²λ（x₃+x₄）+k²λ²，②
由①②，得k²=-1，λ=2，不成立，
∴不存在這樣的定點M（λ，0）．

點評：本題考查弦長的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用，注意反證法的合理運用．