Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1
（1）若2是方程f（x）=

1

2

x的一個根，a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,函數(shù)恒成立問題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過2是方程f（x）=

1

2

x的一個根，求出m，化簡a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），利用等差數(shù)列求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n
（2）利用對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，得到m的不等式，利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值，求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意2是方程f（x）=

1

2

x的一個根，可得4m-2m-1=1，
解得m=1，∵a_n=

f(n)+ 5 4

（n∈N^*），
∴an=n-

1

2

，
∴Sn=

n( 1 2 +n- 1 2 )

2

=

n2

2

（6分）
（2）∵f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m＜

6

x2-x+1

，
對于x∈[1，3]恒成立，記g（x）=

6

x2-x+1

，x∈[1，3]，
記h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上為增函數(shù)．則g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴[g（x）]_min=g（3）=

6

7

，∴m＜

6

7

．所以m的取值范圍為(-∞，

6

7

)．（12分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)結(jié)合，函數(shù)的最值以及函數(shù)的恒成立，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．