Question

已知橢圓C₁：

y 2

a x

+

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，離心率為

2

2

，其一個焦點在拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的準線上，過點M（0，1）的直線交C₁于C、D兩點，交C₂于A、B兩點，分別過點A、B作C₂的切線，兩切線交于點Q．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求△QCD面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

2b=4 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出C₁的方程．由C₁的焦點為（0，2），（0，-2），其一個焦點在拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的準線上，得p=4，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．由C₂：y=

x2

8

，利用導數(shù)的幾何意義知過A點C₂的切線方程為y=

xx1

4

-y1．過B點C₂的切線方程為y=

xx2

4

-y2．由此求出直線AB的方程為y=

1

4

x0x+1，
聯(lián)立方程組

y2 8 + x2 4 =1 y= 1 4 x0x+1

，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，由此利用橢圓弦長公式和點到直線距離公式能求出△QCD面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，離心率為

2

2

，
∴

2b=4 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=8，b=2，c=2，
∴C₁的方程為：

y2

8

+

x2

4

=1．（2分）
∵C₁的焦點為（0，2），（0，-2），其一個焦點在拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的準線上，
∴p=4，∴C₂的方程：x²=8y．（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．
由（Ⅰ）知C₂：y=

x2

8

，∴y′=

x

4

，
∴過A點C₂的切線方程為y-y₁=

x1

4

(x-x1)，即y=

xx1

4

-y1．
過B點C₂的切線方程為y=

xx2

4

-y2．
又∵這兩條直線均過點Q，
∴y0=

x0x1

4

-y1，y0=

x0x2

4

-y2，
∴點A，B均在直線y0=

x0x

4

-y上．
∴直線AB的方程為y=

x0y

4

-y0，
又∵直線AB過點M（0，1），∴y₀=-1．
∴直線AB的方程為y=

1

4

x0x+1，（6分）
聯(lián)立方程組

y2 8 + x2 4 =1 y= 1 4 x0x+1

，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，
x3+x4=

-8x0

x02+32

，x3x4=

-7×16

x02+32

．
|CD|=

1+ x02 16

|x₃-x₄|=

1+ x02 16

16 2 x02+28

x02+32

=

4 2 (x02+28)(x02+16)

x02+32

，（8分）
點Q到直線AB的距離為

|x02+8|

x02+16

．
∴△QCD面積：
S=

2 2 • (x02+28)(x02+16)

x02+32

•

|x02+8|

x02+16

=

2 2 (x02+8) x02+28

x02+32

．（10分）
設

x02+28

=t，∴t≥2

7

．
∴S（t）=

2 2 (t2-20)t

t2+4

=2

2

（t-

24

t+ 4 t

），
∴當t∈[2

7

，+∞）時，S（t）為單調遞增函數(shù)．
∴S_min=

14

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．