Question

已知函數(shù)f（x）=

alnx

x

+bx圖象在點P（1，f（x））處切線方程是y=-1，其中實數(shù)a，b是常數(shù)．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若x=1是函數(shù)g（x）=1-clnx-x²的唯一零點，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）若對任意的正實數(shù)x，以及任意大于m的實數(shù)t，都有

ln(x+t)

x+t

-x＜

lnt

t

恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′(x)=

a(1-lnx)

x2

+b，得方程組

f(1)=-1 f′(1)=0

，解出即可；
（2）先求出g′(x)=-

c

x

-2x=-

2x2+c

x

，再討論①若c≥0，②若c＜0時的情況，從而求出c的范圍；
（3）由（Ⅰ）f(x)=

lnx

x

-x，取c=1，則g（x）=1-lnx-x²由（Ⅱ）可知，g（x）有唯一零點x=1，從而得f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），得f（x+t）＜f（t）恒成立
?f（x）在（m，+∞）上是減函數(shù)，進而求出m的最小值．

解答： 解：（1）f′(x)=

a(1-lnx)

x2

+b，
∵函數(shù)f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程是y=-1，
∴

f(1)=-1 f′(1)=0

，即

b=-1 a+b=0

，
∴

a=1 b=-1

；
（2）g（x）定義域為（0，+∞），
g′(x)=-

c

x

-2x=-

2x2+c

x

，
①若c≥0，
則g′(x)=-

2x2+c

x

＜0(x＞0)，
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
又g（1）=0，
∴x=1是函數(shù)g（x）的唯一零點，符合條件．
②若c＜0，則由g′(x)=-

2x2+c

x

=0(x＞0)，
得x=

- c 2

列表

x	（0， - c 2 ）	- c 2	（ - c 2 ，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↑		↓

（i）若

- c 2

＜1，即-2＜c＜0，
則g(

- c 2

)＞g(1)=0，又

lim

x→0+

g(x)=-∞
∴g（x）在（0，

- c 2

）內(nèi)有1個零點，
從而g（x）有兩個零點，不合條件．
（ii）若

- c 2

=1，即c=-2，
則g(x)≤g(

- c 2

)=g(1)=0（當且僅當x=1時取“=”），
∴x=1是函數(shù)g（x）的唯一零點，符合條件． 
（iii）若

- c 2

＞1，即c＜-2，
則g(

- c 2

)＞g(1)=0，又

lim

x→+∞

g(x)=-∞
∴g（x）在（

- c 2

，+∞）內(nèi)有1個零點，從而g（x）有兩個零點，不合條件．
綜上，c的取值范圍是c≥0或c=-2． 
（3）由（Ⅰ）f(x)=

lnx

x

-x，取c=1，則g（x）=1-lnx-x²
由（Ⅱ）可知，g（x）有唯一零點x=1，
且當x＞1時g（x）＜0，當0＜x＜1時g（x）＞0
∴由f′(x)=

1-lnx-x2

x2

=

g(x)

x2

＜0，得x＞1，
∴f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），
∴對任意的正實數(shù)x，以及任意大于m的實數(shù)t，
都有

ln(x+t)

x+t

-x＜

lnt

t

，
即

ln(x+t)

x+t

-(x+t)＜

lnt

t

-t，
∴f（x+t）＜f（t）恒成立
?f（x）在（m，+∞）上是減函數(shù)
?（m，+∞）⊆（1，+∞）
?m≥1，
∴實數(shù)m的最小值是1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的范圍，考查切線方程，是一道綜合題．