Question

1．已知sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，a，b，c為三角形的三邊，比較c+b與2a的大�。�

Answer 1

分析 利用sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，求出A，分類討論，利用余弦定理，化角為邊，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題設(shè)sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，可得cos2A=-$\frac{1}{2}$，
又0＜2A＜2π，所以2A=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$，
所以A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，
（1）當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因?yàn)?a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）                     
（2）當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理得a²=b²+c²+ac，
因?yàn)?a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a．
綜上，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b+c=2a；當(dāng)△ABC為非等邊三角形時(shí)，b+c＜2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．