Question

11．某高中組織50人參加自主招生選拔考試，其數(shù)學(xué)科測(cè)試全部成績(jī)介于50分與150分之間（無(wú)滿分），將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[50，70）；第二組[70，90）；…，第五組[130，150）．下圖為按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)m，n表示某兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，且m，n∈[50，70）∪[130，150），求事件“|m-n|＞20”的概率．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布直方圖可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，由此求得a的值．
（II）分別求得成績(jī)?cè)赱50，70）的人數(shù)，成績(jī)?cè)赱130，150）的人數(shù)；分類討論求得滿足|m-n|＞20的基本事件的個(gè)數(shù)，求得所有的基本事件的個(gè)數(shù)，即可求得事件“|m-n|＞20”的概率．

解答 解：（I）由頻率分布直方圖可得：20×（0.019+4a+2a+a+0.003）=1，
解之得：a=0.004．
（II）由直方圖可知，成績(jī)?cè)赱50，70）的人數(shù)為50×20×0.003=3（人），設(shè)這3個(gè)人分別為x，y，z；
成績(jī)?cè)赱130，150）的人數(shù)為50×20×0.004=4（人），設(shè)這4個(gè)人為為A，B，C，D．
當(dāng)m，n∈[50，70）時(shí)，有xy，yz，xz，共3種情況；
當(dāng)m，n∈[130，150）時(shí)，由AB，AC，AD，BC，BD，CD，6種情況；  
當(dāng)m，n分別在[50，70）和[130，150）內(nèi)時(shí)，xA，xB，xC，xD，…，zD，12種情況，
故所有的基本事件共有3+6+12=21種，
故事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件有12種，
所以$P（{|m-n|＞20}）=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查頻率分布直方圖，古典概率及其計(jì)算公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．