Question

11．已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy+8=0，求xy的最小值．

Answer 1

分析 首先分析題目由已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy=8，求xy的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2$\sqrt{ab}$在代入已知條件，化簡(jiǎn)為不等式，解不等式求最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=x•（2y）-8
≥2$\sqrt{2xy}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)），
整理得xy-$\sqrt{2}$$\sqrt{xy}$-4≥0，
即（$\sqrt{xy}$-2$\sqrt{2}$）（$\sqrt{xy}$+$\sqrt{2}$）≥0，
由$\sqrt{xy}$＞0，即有$\sqrt{xy}$≥2$\sqrt{2}$．
所以xy≥8（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=4時(shí)取等號(hào)）
則xy的最小值是8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查基本不等式的用法，對(duì)于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值最小值的問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，需要同學(xué)們多加注意．