Question

14．正四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求出正四棱錐S-ABCD的高為$\sqrt{2}$，由V_S-ABC=V_A-SBC，利用等積法求出三棱錐A-SBC的高，由此能求出直線AC與平面SBC所成角的正弦值

解答 解：∵正四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，
∴正四棱錐S-ABCD的高為$\sqrt{2}$，
在三棱錐S-ABC中，S_△ABC=2，∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又在三棱錐A-SBC中，S_△SBC=$\sqrt{3}$，
∵V_S-ABC=V_A-SBC，
∴三棱錐A-SBC的高為h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直線AC與平面SBC所成角的正弦值為$\frac{h}{AC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，求出三棱錐A-SBC的高是關(guān)鍵．