Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-3|+|2x-4|-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=6時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）如果關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分類(lèi)討論，根據(jù)x的范圍先去掉絕對(duì)值然后再根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解．
（2）求出函數(shù)的最小值，原問(wèn)題等價(jià)為a＞[|x-3|+|2x-4|]_min，從而求出a的范圍；

解答 解：（1）原不等式|x-3|+|2x-4|＞6
當(dāng)x＜2時(shí)，原不等式化為-3x+1＞0，解得x＜$\frac{1}{3}$，∴x＜$\frac{1}{3}$；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，原不等式化為x-7＞0，是∅；
當(dāng)x＞3時(shí)，原不等式化為3x-13＞0，解得x＞$\frac{13}{3}$
綜上，原不等式解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞$\frac{13}{3}$}；
（2）y=|x-3|+|2x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+7，x＜2}\\{x-1，2≤x≤3}\\{3x-7，x＞3}\end{array}\right.$
當(dāng)x＜2時(shí)，y＞1
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，1≤y≤2
當(dāng)x＞3時(shí)，y＞2
綜上y≥1，原問(wèn)題等價(jià)為a＞[|x-3|+|2x-4|]_min
∴a＞1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查絕對(duì)值不等式的解法，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想，解題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，此類(lèi)題目是高考常見(jiàn)的題型．