Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）．
（1）求證：f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在（0，+∞）上的最小值和值域．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=x+$\frac{4}{x}$的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的值在兩個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，若符號(hào)為正，此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，若導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，可得當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值，進(jìn)而得到函數(shù)值域．

解答 證明：（1）∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）．
∴f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，$\frac{4}{{x}^{2}}$＞1，故1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（0，2）上是減函數(shù)．
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，$\frac{4}{{x}^{2}}$＜1，故1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，故函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（2，+∞）上是增函數(shù)．
由上證，f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
解：（2）由（1）得：當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值4，無(wú)最大值，
故f（x）在（0，+∞）上的值域?yàn)閇4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的最值和函數(shù)的值域；本題采取了用導(dǎo)數(shù)法來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是若導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于0，則這個(gè)區(qū)間是這個(gè)函數(shù)的增區(qū)間，若數(shù)在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值恒小于等于0，則這個(gè)區(qū)間是這個(gè)函數(shù)的減區(qū)間．