Question

8．求證：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2（n∈N^*）

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，對不等式的左邊，從第二項(xiàng)起，運(yùn)用放縮法和累加法，即可得證．

解答 證明：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
即有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$＜2．
則有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2（n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查放縮法證明不等式的方法，注意從第二項(xiàng)放縮，是解題的關(guān)鍵．