Question

1．已知x²+xy+y²=1，求x+3y的取值范圍．

Answer 1

分析 討論x=0時，x+3y的值是多少，x≠0時，設a=x+3y，兩邊平方，再利用已知與二次方程的判別式，求出a的取值范圍即可．

解答 解：當x=0時，y²=1，∴x+3y=±3；
當x≠0時，設a=x+3y，
則a²=x²+6xy+9y²，
∴a²=$\frac{{x}^{2}+6xy+{9y}^{2}}{{x}^{2}+xy{+y}^{2}}$=$\frac{1+6•\frac{y}{x}+9{•（\frac{y}{x}）}^{2}}{1+\frac{y}{x}{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，化為（9-a²）t²+（6-a²）t+（1-a²）=0，
∵a²≠9，t為實數(shù)，
∴△=（6-a²）²-4（9-a²）（1-a²）≥0，
化為a²（3a²-28）≤0，a²≠9，
解得0≤a²≤$\frac{28}{3}$，
∴-$\frac{2\sqrt{21}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$；
綜上，x+3y的取值范圍是-$\frac{2\sqrt{21}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查了轉(zhuǎn)化思想的應用問題，也考查了一元二次方程的判別式的應用問題，是較難的題目．