Question

19．設(shè)命題$p：?x∈[0，\frac{π}{2}]，{cos^2}$x+2cosx-a=0；命題q：?x∈R，使得x²+2ax-8+6a≥0，如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q成立的等價條件，利用p∨q為真命題，p∧q為假命題，確定實數(shù)c的取值范圍確定實數(shù)a的取值范圍

解答 解：設(shè)t=cosx，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴t∈[0，1]，
則有?t∈[0，1]，使a=t²+2t成立，
∵t∈[0，1]時，t²+2t∈[0，3]，
∴p為真時a∈[0，3]，
∵?x∈R，x²+2ax-8+6a≥0成立，
∴△≤0，即a²-6a+8≤0，
∴a∈[2，4]，
∴q為真時a∈[2，4]，
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p，q一個真一個假
當p真q假時，a∈[0，2），
當p假q真時，a∈（3，4]，
∴實數(shù)a的取值范圍是[0，2）∪（3，4]．

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．