Question

1．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為正方體內(nèi)一點(diǎn)（包括表面），若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，且0≤x≤y≤z≤1，則P點(diǎn)所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 通過向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，確定滿足0≤x≤y≤1、0≤y≤z≤1的點(diǎn)P的位置，即三棱柱A-A₁C₁D₁內(nèi)，從而可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，
滿足條件的0≤x≤y≤1的點(diǎn)P在三棱柱ACD-A₁C₁D₁內(nèi)，
滿足條件的0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在三棱柱AA₁D₁-BB₁C₁內(nèi)，
故同時(shí)滿足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在這兩個(gè)三棱柱的公共部分，
即圖中的三棱柱A-A₁C₁D₁內(nèi)，其體積是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{6}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查三棱柱，向量基本定理，向量的加法運(yùn)算，確定點(diǎn)P的位置是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．