Question

5．△ABC的重心為G，M在△ABC的平面內(nèi)，求證：MA²+MB²+MC²=GA²+GB²+GC²+3GM²．

Answer 1

分析 利用G為三角形ABC的重心得到$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，結(jié)合向量的三角形法則、數(shù)量積運算化簡計算．

解答 證明：因為△ABC的重心為G，M在△ABC的平面內(nèi)，
所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，又$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$，
所以${\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$+2$\overrightarrow{MG}•（\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}）$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$．

點評 本題考查了三角形重心的性質(zhì)，向量的三角形法則以及平面向量的運算；關(guān)鍵是利用△ABC的重心為G，則$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$．