Question

16．（實(shí)驗(yàn)班做）
（1）解不等式：x+|2x-1|＜3；
（2）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x²+y²+z²=1，x+2y+3z=$\sqrt{14}$，求x+y+z的值．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的2個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由條件利用二維形式的柯西不等式求得x、y、z的值，從而求得x+y+z的值．

解答 解：（1）由x+|2x-1|＜3，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{x+1-2x＜3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x+2x-1＜3}\end{array}\right.$②．
解①求得-2＜x＜$\frac{1}{2}$，解②求得$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{4}{3}$，
故原不等式的解集為{x|-2＜x＜$\frac{4}{3}$}．
（2）∵14=（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）=14，
∴$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$，∴z=3x，y=2x，又x+2y+3z=$\sqrt{14}$，∴x=$\frac{1}{\sqrt{14}}$ y=$\frac{2}{\sqrt{14}}$=$\frac{3}{\sqrt{14}}$，
∴x+y+z=$\frac{6}{\sqrt{14}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想；還考查了二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．