Question

20．直線y=t與函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x}（x＞0），g（x）={e^x}$的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長度的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意得到A（$\frac{1}{2}$t²，t），B（lnt，t），其中$\frac{1}{2}$t²＞lnt，且t＞0，表示|AB|，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：∵直線y=t與函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x}（x＞0），g（x）={e^x}$的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（$\frac{1}{2}$t²，t），B（lnt，t），其中$\frac{1}{2}$t²＞lnt，且t＞0，
∴|AB|=$\frac{1}{2}$t²-lnt
設(shè)函數(shù)f（t）=$\frac{1}{2}$t²-lnt，
f′（t）=t-$\frac{1}{t}$，t＞0，
令f′（t）=0，解得t=1，
當(dāng)f′（t）＞0，即t＞1時(shí)，函數(shù)在（1，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（t）＜0，即0＜t＜1時(shí)，函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減，
故t=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
故線段AB的長度的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．