Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項為a₁，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列，可得S_n=2a_n-2．利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式可得a_n．
（2）由b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1）=n（n+1），可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差數(shù)列，∴2a_n=2+S_n，即S_n=2a_n-2．
當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）∵b_n=（log₂a_n）×（log₂a_n+1）=n（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．