Question

11．求證：任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立．

Answer 1

分析 要證原不等式成立，可證$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1．構(gòu)造f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由不等式的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 證明：要證任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立，
即證$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1．
由f（x）=ln（1+x）-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0（x＞0），
f（x）在（0，+∞）遞減，即有f（x）＜f（0）=0，
則ln（1+x）＜x，
則ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{{n}^{2}}$＜1，
又g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$＞0（x＞0），
g（x）在（0，+∞）遞增，即有g(shù)（x）＞g（0）=0，
則ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，
則ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{1+{n}^{2}}$+$\frac{2}{2+{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{n+{n}^{2}}$
＞$\frac{1}{n+{n}^{2}}$+$\frac{2}{n+{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{n+{n}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{n+{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1，
故對(duì)任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式的性質(zhì)和推理能力，屬于中檔題．