Question

9．如圖，設P是圓x²+y²=6上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且$\overrightarrow{DP}=\sqrt{2}\overrightarrow{DM}$．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若點Q（1，1）恰為直線l與曲線C相交弦的中點，試確定直線l的方程；
（3）直線$x+y-\sqrt{3}=0$與曲線C相交于E、G兩點，F(xiàn)、H為曲線C上兩點，若四邊形EFGH對角線相互垂直，求S_EFGH的最大值．

Answer 1

分析 （1）設M的坐標為（x，y），由已知得點P的坐標是（x，$\sqrt{2}$y），由此能求點M的軌跡C的方程；
（2）直線l與曲線C相交弦為ABA（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入兩式相減，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．
（3）求出|FH|的最大值，即可求出S_EFGH的最大值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{DP}=\sqrt{2}\overrightarrow{DM}$知點M為線段PD的中點，
設點M的坐標是（x，y），則點P的坐標是（x，$\sqrt{2}$y），
∵點P在圓x²+y²=6上，
∴x²+2y²=6．…（3分）
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直線l與曲線C相交弦為AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程，兩式相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵弦AB中點為（1，1），
∴k_AB=-$\frac{1}{2}$．
∴直線l的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），解得x+2y-3=0．
（3）設FH的方程為y=x+b，代入橢圓方程，可得3x²+4bx+2b²-6=0，
∴|FH|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4•\frac{2^{2}-6}{3}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{-\frac{8}{9}^{2}+8}$，
∴b=0，|FH|的最大值為4，
直線$x+y-\sqrt{3}=0$與曲線C聯(lián)立，可得$3{x}^{2}-4\sqrt{3}x=0$，
∴|EG|=$\sqrt{2}•\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴S_EFGH的最大值為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查了橢圓的標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．