Question

1．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q，交x軸的正半軸于點(diǎn)S，且有|FP|=|FS|．當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3時(shí)，|PF|=|PS|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線l₁∥l，l₁和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，
（ⅰ）△OPE的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ⅱ）證明直線PE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （ I）求出拋物線的$F（{\frac{p}{2}，0}）$．利用$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$，則S（3+p，0），通過|PF|=|PS|，解得p=2．得到拋物線C的方程．
（ II）（ i）由（ I）知F（1，0），設(shè)P（x₀，y₀），（x₀y₀≠0），S（x_S，0）（x_S＞0），求出S（x₀+2，0）．得到直線PQ的斜率K_PQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$．利用直線l₁和直線PQ平行，設(shè)直線l₁的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$，代入拋物線方程，求出$b=-\frac{2}{y_0}$．設(shè)E（x_E，y_E），求出k_PE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，可得直線PE的方程，表示出△OPE的面積，利用基本不等式求解三角形OPE的面積的最小值．
（ ii）由（ i）知$y_0^2≠4$時(shí)，直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}（{x-1}）$，然后求解過點(diǎn)F（1，0）．

解答 解：（ I）由題意知$F（{\frac{p}{2}，0}）$．x_P=3，則$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$，
則S（3+p，0），或S（-3，0）（舍）則FS中點(diǎn)$（{\frac{3p+6}{4}，0}）$．
因?yàn)閨PF|=|PS|，則$\frac{3p+6}{4}=3$解得p=2．所以拋物線C的方程為y²=4x．…..（4分）
（ II）（ i）由（ I）知F（1，0），設(shè)P（x₀，y₀），（x₀y₀≠0），S（x_S，0）（x_S＞0），
因?yàn)閨FP|=|FS|，則|x_S-1|=x₀+1，由x_S＞0得x_S=x₀+2，故S（x₀+2，0）．故直線PQ的斜率K_PQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$．
因?yàn)橹本�l₁和直線PQ平行，設(shè)直線l₁的方程為$y=-\frac{y_0}{2}x+b$，代入拋物線方程
得${y^2}+\frac{8}{y_0}y-\frac{8b}{y_0}=0$，由題意$△=\frac{64}{y_0^2}+\frac{32b}{y_0}=0$，得$b=-\frac{2}{y_0}$．
設(shè)E（x_E，y_E），則y_k=-$\frac{4}{{y}_{0}}$，x_K=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
當(dāng)y₀²≠4時(shí)，kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
可得直線PE的方程為$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，
則O到直線PE的距離為$d=\frac{{|{\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-1}}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{{（\frac{y_0}{{{x_0}-1}}）}^2}}}}=\frac{{|{y_0}|}}{{{x_0}+1}}$，
$|{PE}|=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{x_0}）}^2}+{{（{y_0}+\frac{4}{y_0}）}^2}}=\frac{{{{（{x_0}+1）}^2}}}{x_0}$…..（6分）
所以，△OPE的面積${S_{△OPE}}=\frac{1}{2}|{PE}|×d=\frac{{|{y_0}|（{x_0}+1）}}{x_0}=\frac{（y_0^2+4）}{{|{y_0}|}}=|{y_0}|+\frac{4}{{|{y_0}|}}＞2$
當(dāng)$y_0^2=4$時(shí)，S_△OPE=2
所以，△OPE的面積有最小值，最小值為2．…..（9分）
（ ii）由（ i）知$y_0^2≠4$時(shí)，直線PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，
整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}（{x-1}）$，直線PE恒過點(diǎn)F（1，0）．
當(dāng)$y_0^2=4$時(shí)，直線PE的方程為x=1，過點(diǎn)F（1，0）．…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．