Question

如圖，設(shè)橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關(guān)于對稱，且

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）4

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論；(3)判斷直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，用幾何法；若方程中含參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法．

試題解析：【解析】
（1） 2分

由及勾股定理可知，即 4分

因為，所以，解得 6分

（2）由（1）可知是邊長為的正三角形，所以

解得 8分

由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑

即點在圓上， 10分

因為圓心到直線的距離為 12分

故該圓與直線相切，所以點到直線的最大距離為 13分

考點：1、橢圓的離心率；2、直線與圓的應(yīng)用．